4.3 Derivación numérica y derivación finitas

DERIVACIÓN NUMÉRICA

La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma.
La principal idea que subyace en las técnicas de derivación numérica está muy vinculada a la interpelación y se podría resumir en lo siguiente: Si de una función f(x) se conocen sus valores en un determinado soporte de puntos, puede ‘aproximarse” la función f(x) por otra función p(x) que la interpole en dicho soporte y sustituir el valor de las derivadas de f(x) en un punto x* por el valor de las correspondientes derivadas de p(x) en dicho punto x*.
En ese entonces el concepto de límite no estaba desarrollado de forma explícita y Ia primera derivada de una función f(x) en el punto x* se consideraba como el valor del cociente incremental.
Por definición la derivada de una función  f(x)  es:
f^\prime (x)= \lim_{h \to 0} \frac {f(x+h)-f(x)} {h}
Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h > 0) serán:
Diferencias hacia adelante:
f^\prime (x_0) \approx \frac {f(x_0+h)-f(x_0)} {h}
Diferencias hacia atrás:
f^\prime (x_0) \approx \frac {f(x_0)-f(x_0-h)} {h}
La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entrega la mejor aproximación numérica al problema dado:
Diferencias centrales:
f^\prime (x_0) \approx \frac {f(x_0+h)-f(x_0-h)} {2h}
f^{\prime \prime} (x_0) \approx \frac {f(x_0+h)-2 f(x_0)+f(x_0-h)} {h^2}
DIFERENCIA FINITA

Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales.

Métodos de diferencias finitas

Otro aspecto importante es que las diferencias finitas aproximan cocientes diferenciales a medida que h se acerca a cero. Así que se pueden usar diferencias finitas para aproximar derivadas. Esta técnica se emplea a menudo en análisis numérico, especialmente en ecuaciones diferenciales numéricas ordinarias, ecuaciones en diferencias y ecuación en derivadas parciales. Los métodos resultantes reciben el nombre de métodos de diferencias finitas.
Las aplicaciones habituales de los métodos de diferencias finitas son en los campos de la computación y áreas de la ingeniería como ingeniería térmica o mecánica de fluido.


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